Shannon

Shannons lag ger den maximala överförbara datatakten hos en given överföringskanal vid en viss effekt och ett givet signalbrusförhållande.

Grundformen

$$\begin{gathered} I<B \\ lo{g}_2(1+\frac{S}{N}) \end{gathered}$$

Där

I är den informationshastighet i bitar per sekund

B är den bandbredd överföringskanalen har i Hz

S är den totala signalens effekt

N är den totala bruseffekten i mottagaren

Vad lagen säger är alltså att den överförda mängden information i bit/s alltid måste vara mindre än bandbredden multiplicerad med den binära logaritmen av signalbrusförhållandet för överföringskanalen.

Shannon om GSM

Ett exempel på detta är en vanlig GSM-kanal med en mottagen signalstyrka på -90 dBm. Bruseffekten i en standard GSM-kanal kan räknas ut till -121 dBm så vi har ett S/N som är 31 dB. Detta ger oss då följande:

$2\cdot 10^5\cdot lo{g}_2(1+10^{31/10})$ $\approx 2\cdot 10^5{\log }_2(1258)$ $\approx 2\cdot 10^{5}10,3$ $\approx 2,060\cdot 10^6$

Så vi ser att normal GSM är ganska långt från shannons gräns. Vid -90 dBm räknar man med 270 kbit/s normalt och det innebär alltså 7,6 ggr från shannongränsen.

Shannon på modemkanal

Antag en bandbredd om 3600-300 Hz, dvs 3 500 Hz. Antag S/N 48 dB S/N så får vi följande:

$$\begin{gathered} 3 \\ 500\cdot lo{g}_2(1+10^{48/10}) \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \approx 3 \\ 500\cdot lo{g}_2(1+63 \\ 095) \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \approx 3 \\ 500\cdot 15,94 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \approx 55 \\ 808 \end{gathered}$$

Man ser alltså att det krävs bra S/N för att klara 56 kbit/s modem...

Omvandling till 2-logaritmen

Om din räknare inte kan hantera 2-logaritmen direkt så kan du omvandla från naturliga logaritmen $ln$ eller tiotalslogaritmen $lo{g}_{10}$ genom att använda följande omvanling:

Naturliga logaritmen

$lo{g}_2(x)=\frac{ln(x)}{ln(2)}$

Tiotalslogaritmen

$lo{g}_2(x)=\frac{lo{g}_{10}(x)}{lo{g}_{10}(2)}$