Jω-metoden

Denna sida är under konstruktion och ej färdig ännu och därför kan väsentliga detaljer fortfarande saknas.

Bakgrund

Jω-metoden, eller j-omega-metoden är skapad för att underlätta beräkningar i växelströmssammanhang på enkla kretsar. Finessen med metoden är att man kan med separation hantera både resistiva och reaktiva laster med den vanliga likströmsteorin vilket gör det väldigt enkelt att beräkna även komplexa system.

Metoden går ut på att använda ett komplext tal för att representera kombinationer av rent resistiv last, R med reaktiv last X och tillsammans bildar de impedansen Z som sedan kan hanteras direkt med likströmsmetoden.

För att få ortogonalitet mellan den resistiva och den reaktiva delen använder man sig av komplexa tal, dessa kännetecknas av att de innehåller två komponenter, dels en reell del och en imaginär del som ofta betecknas med bokstaven j som ingår i namnet av metoden.

ω representerar vinkelhastigheten i ett alternerande elektriskt fält på formen 2πf och eftersom reaktansen är frekvensberoende så ingår ω som komponent. På så vis har vi fått förklaringen till metodens namn, jω-metoden.

Definitioner

• Växelförloppen antas sinusformiga
• En resistans representeras av dess resistiva värde direkt som den reella delen i det komplexa talet.
• En reaktans kan vara kapacitiv eller induktiv
• En induktiv sådan fasvrider +90° en kapacitiv -90°
• Induktans representeras med $j\omega L$
• Kapacitans representeras med ${\frac {1}{j\omega C}}$

Ofta används notationen belopp / fasvinkel för de komplexa impedanserna, spänningarna och strömmarna och denna notation har följande relation:

$Z={\frac {u}{i}}$ $={\frac {{\hat {u}}\cdot \mathrm {e} ^{j(\omega t+\varphi _{1}})}{{\hat {i}}\cdot \mathrm {e} ^{j(\omega t+\varphi _{2}})}}$ $={\frac {{\hat {u}}{\underline {/\varphi _{1}}}}{{\hat {i}}{\underline {/\varphi _{2}}}}}$

Om fasvinklarna tar ut varandra så att resultanten är 0, då kommer u och i att vara i fas och lasten blir rent resistiv:

$Z={\frac {{\hat {u}}{\underline {/\varphi _{1}}}}{{\hat {i}}{\underline {/\varphi _{1}}}}}$ $={\frac {\hat {u}}{\hat {i}}}{\underline {/\varphi _{1}-\varphi _{2}}}$ $={\frac {\hat {u}}{\hat {i}}}{\underline {/0}}=R$

Komplexa storheter

Vi ersätter därför tidigare impedans, ström och spänning med dess respektive storhete i komplex form enligt:

Strömmen

I stället för strömmen

$i=I{\sqrt {2}}\sin {(\omega t+\alpha )}$

Inför vi den komplexa strömmen

${\overline {I}}=\mathrm {e} ^{j\alpha }=I{\underline {/\alpha }}$