Jω-metoden

Bakgrund

Jω-metoden, eller j-omega-metoden är skapad för att underlätta beräkningar i växelströmssammanhang på enkla kretsar. Finessen med metoden är att man kan med separation hantera både resistiva och reaktiva laster med den vanliga likströmsteorin vilket gör det väldigt enkelt att beräkna även komplexa system.

Metoden går ut på att använda ett komplext tal för att representera kombinationer av rent resistiv last, R med reaktiv last X och tillsammans bildar de impedansen Z som sedan kan hanteras direkt med likströmsmetoden.

För att få ortogonalitet mellan den resistiva och den reaktiva delen använder man sig av komplexa tal, dessa kännetecknas av att de innehåller två komponenter, dels en reell del och en imaginär del som ofta betecknas med bokstaven j som ingår i namnet av metoden.

ω representerar vinkelhastigheten i ett alternerande elektriskt fält på formen 2πf och eftersom reaktansen är frekvensberoende så ingår ω som komponent. På så vis har vi fått förklaringen till metodens namn, jω-metoden.

Definitioner

• Växelförloppen antas sinusformiga
• En resistans representeras av dess resistiva värde direkt som den reella delen i det komplexa talet.
• En reaktans kan vara kapacitiv eller induktiv
• En induktiv sådan fasvrider +90° en kapacitiv -90°
• Induktans representeras med $j\omega L$
• Kapacitans representeras med ${\frac {1}{j\omega C}}$

Ofta används notationen belopp / fasvinkel för de komplexa impedanserna, spänningarna och strömmarna och denna notation har följande relation:

$Z={\frac {u}{i}}$ $={\frac {{\hat {u}}\cdot \mathrm {e} ^{j(\omega t+\varphi _{1}})}{{\hat {i}}\cdot \mathrm {e} ^{j(\omega t+\varphi _{2}})}}$ $={\frac {{\hat {u}}{\underline {/\varphi _{1}}}}{{\hat {i}}{\underline {/\varphi _{2}}}}}$

Om fasvinklarna tar ut varandra så att resultanten är 0, då kommer u och i att vara i fas och lasten blir rent resistiv:

$Z={\frac {{\hat {u}}{\underline {/\varphi _{1}}}}{{\hat {i}}{\underline {/\varphi _{1}}}}}$ $={\frac {\hat {u}}{\hat {i}}}{\underline {/\varphi _{1}-\varphi _{2}}}$ $={\frac {\hat {u}}{\hat {i}}}{\underline {/0}}=R$

Komplexa storheter

Vi ersätter därför tidigare impedans, ström och spänning med dess respektive storhete i komplex form enligt:

Strömmen

I stället för strömmen

$i=I{\sqrt {2}}\sin {(\omega t+\alpha )}$

Inför vi den komplexa strömmen

${\overline {I}}=\mathrm {e} ^{j\alpha }=I{\underline {/\alpha }}$

Spänningen

I stället för spänningen

$u=U{\sqrt {2}}\sin {\omega t+\beta }$

Inför vi den komplexa spänningen

${\overline {U}}=U\mathrm {e} ^{j\beta }=U{\underline {/\beta }}$

Resistanser, induktanser, kapacitanser

Alla resistanser R, induktanser L och kapacitanser C ersätts med motsvarande komplexa impedanserna:

$R,j\omega L,{\frac {1}{j\omega C}}$

Metod

Formellt räknar man sedan med växelstorheterna och med de komplexa impedanserna som om man hade ett likströmsproblem. En sökt växelstorhet erhålls som ett komplext tal vars absolutbelopp är storhetens effektivvärde och vars argument är storhetens fasvinkel.

Effekten i komplex framställning

Givet att

$u=U{\sqrt {2}}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} (\omega t+\varphi _{u})}$

$i=I{\sqrt {2}}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} (\omega t+\varphi _{i})}$

och med $\ i$ som riktfas, blir den skenbara effekten

$S=UI{\underline {/\varphi _{u}-\varphi _{i}}}$

vilket kan skrivas som

$S=P+jQ=U\cdot I{\underline {/\arg {\overline {U}}-\arg {\overline {I}}}}={\overline {U}}\cdot {\overline {I}}^{*}\,$

det vill säga

$P=\operatorname {Re} ({\overline {U}}\cdot {\overline {I}}^{*})=\operatorname {Re} ({\overline {U}}^{*}\cdot {\overline {I}})$

$Q=\operatorname {Im} ({\overline {U}}\cdot {\overline {I}}^{*})=-\operatorname {Im} ({\overline {U}}^{*}\cdot {\overline {I}})$

där

${\overline {U}}^{*},\ {\overline {I}}^{*}$

är spänningens och strömmens komplexkonjugerade värden.

Seriekoppling

För ögonblicksvärdena av en seriekoppling av tre komponenter med resistans, induktans respektive kapacitans gäller

$u=Ri+L{\frac {di}{dt}}+{\frac {1}{C}}\int {i\,dt}$

Motsvarande ekvation i komplex form:

${\overline {U}}=\left(R+j\omega L+{1 \over j\omega C}\right){\overline {I}}=$

$=\left(R+j(\omega L-{1 \over \omega C})\right){\overline {I}}$

Av visardiagrammet till höger framgår att den resulterande fasvridningen för de seriekopplade impedanserna är

$\theta =\arctan {\omega L-{1 \over \omega C} \over R}$

vilket är samma värde som argumentet för den komplexa impedansen.

Två parallellkopplade spolar

Två parallellkopplade spolar är anslutna till spänningen

$u=A{\sqrt {2}}\sin(\omega t+\beta )$

Bestäm den totala tillförda strömmen

$i=I{\sqrt {2}}\sin(\omega t+\alpha )$

Inför den komplexa spänningen och strömmen

${\overline {U}}=U\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} (\omega t+\beta )}=U{\underline {/\beta }}\,$

${\overline {I}}=I\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} (\omega t+\alpha )}=I{\underline {/\alpha }}$

Tillämpning av de vanliga likströmslagarna på kretsen till höger ger

${\overline {I}}={\frac {\overline {U}}{R_{1}+j\omega L_{1}}}+{\frac {\overline {U}}{R_{2}+j\omega L_{2}}}={\overline {U}}\cdot {\frac {R_{1}+R_{2}+j\omega (L_{1}+L_{2})}{(R_{1}+j\omega L_{1})(R_{2}+j\omega L_{2})}}$

vilket ger

$I=|{\overline {I}}|=U\cdot {\frac {\sqrt {(R_{1}+R_{2})^{2}+\omega ^{2}(L_{1}+L_{2})^{2}}}{{\sqrt {R_{1}^{2}+(\omega L_{1})^{2}}}{\sqrt {R_{2}^{2}+(\omega L_{2})^{2}}}}}$

och

$\alpha =\arg {\overline {I}}=\beta +\arctan {\frac {\omega (L_{1}+L_{2})}{R_{1}+R_{2}}}-\arctan {\frac {\omega L_{1}}{R_{1}}}-\arctan {\frac {\omega L_{2}}{R_{2}}}$