Shannon

Shannons lag ger den maximala överförbara datatakten hos en given överföringskanal vid en viss effekt och ett givet signalbrusförhållande.

Grundformen

$I<B\ log_{2}\left(1+{\frac {S}{N}}\right)$

Där

I är den informationshastighet i bitar per sekund

B är den bandbredd överföringskanalen har i Hz

S är den totala signalens effekt

N är den totala bruseffekten i mottagaren

Vad lagen säger är alltså att den överförda mängden information i bit/s alltid måste vara mindre än bandbredden multiplicerad med den binära logaritmen av signalbrusförhållandet för överföringskanalen.

Shannon om GSM

Ett exempel på detta är en vanlig GSM-kanal med en mottagen signalstyrka på -90 dBm. Bruseffekten i en standard GSM-kanal kan räknas ut till -121 dBm så vi har ett S/N som är 31 dB. Detta ger oss då följande:

$2\cdot 10^{5}\cdot log_{2}\left(1+10^{31/10}\right)$ $\approx 2\cdot 10^{5}\log _{2}(1258)$ $\approx 2\cdot 10^{5}10,3$ $\approx 2,060\cdot 10^{6}$

Så vi ser att normal GSM är ganska långt från shannons gräns. Vid -90 dBm räknar man med 270 kbit/s normalt och det innebär alltså 7,6 ggr från shannongränsen.

Shannon på modemkanal

Antag en bandbredd om 3600-300 Hz, dvs 3 500 Hz. Antag S/N 48 dB S/N så får vi följande:

$3\ 500\cdot \log _{2}(1+10^{48/10})$ $\approx 3\ 500\cdot \log _{2}(1+63\ 095)$ $\approx 3\ 500\cdot 15,94$ $\approx 55\ 808$

Man ser alltså att det krävs bra S/N för att klara 56 kbit/s modem...

Omvandling till 2-logaritmen

Om din räknare inte kan hantera 2-logaritmen direkt så kan du omvandla från naturliga logaritmen $ln$ eller tiotalslogaritmen $log_{10}$ genom att använda följande omvanling:

Naturliga logaritmen

$\log _{2}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(2)}}$

Tiotalslogaritmen

$\log _{2}(x)={\frac {\log _{10}(x)}{\log _{10}(2)}}$