Jω-metoden - Versionshistorik

Anders: /* Bakgrund */

2013-02-21T06:43:13Z

Bakgrund

← Äldre version		Versionen från 21 februari 2013 kl. 06.43
Rad 7:		Rad 7:

	ω representerar vinkelhastigheten i ett alternerande elektriskt fält på formen ''2πf'' och eftersom reaktansen är frekvensberoende så ingår ω som komponent. På så vis har vi fått förklaringen till metodens namn, jω-metoden.		ω representerar vinkelhastigheten i ett alternerande elektriskt fält på formen ''2πf'' och eftersom reaktansen är frekvensberoende så ingår ω som komponent. På så vis har vi fått förklaringen till metodens namn, jω-metoden.

			Observera att metoden egentligen endast gäller för sinusformad växelriktning och för andra typer av växelriktning är den inte formellt antagbar. Dock - eftersom alla typer av växelriktning kan uttryckas i multipla sinusformer, eventuell med serieutveckling, kan metoden ändå tillämpas - även om det kan bli många termer.

			För praktiskt bruk i radiokretsar kan trots modulation antas sinus. Grundtonen kommer i nästan alla fall vara helt dominerande och impedansen påverkas måttligt av de överlagrade toner som förekommer i modulationen.

	==Definitioner==		==Definitioner==

Anders den 21 februari 2013 kl. 06.41

2013-02-21T06:41:09Z

← Äldre version		Versionen från 21 februari 2013 kl. 06.41
Rad 1:		Rad 1:
	~~{{Ofärdig}}~~
	== Bakgrund==		== Bakgrund==
	Jω-metoden, eller ''j-omega-metoden'' är skapad för att underlätta beräkningar i växelströmssammanhang på enkla kretsar. Finessen med metoden är att man kan med separation hantera både resistiva och reaktiva laster med den vanliga likströmsteorin vilket gör det väldigt enkelt att beräkna även komplexa system.		Jω-metoden, eller ''j-omega-metoden'' är skapad för att underlätta beräkningar i växelströmssammanhang på enkla kretsar. Finessen med metoden är att man kan med separation hantera både resistiva och reaktiva laster med den vanliga likströmsteorin vilket gör det väldigt enkelt att beräkna även komplexa system.

Anders: /* Seriekoppling */

2013-02-21T06:40:46Z

Seriekoppling

← Äldre version		Versionen från 21 februari 2013 kl. 06.40
Rad 81:		Rad 81:

	=== Seriekoppling ===		=== Seriekoppling ===
	[[Image:J-Omega-visardiagram.svg\|thumb\|right\|260 px\|Visardiagram för tre seriekopplade impedanser med resistans, induktans och kapacitans. Visaren för R används som [[fas (matematik)\|riktfas]] vilket betyder att fasen för den växelspänning/växelström som ligger över/genomlöper R är [[fas (matematik)\|fasreferens]]/riktfas]]

	För ögonblicksvärdena av en seriekoppling av tre komponenter med resistans, induktans respektive kapacitans gäller		För ögonblicksvärdena av en seriekoppling av tre komponenter med resistans, induktans respektive kapacitans gäller
	:<math>u = Ri+L\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}\int{i\, dt}</math>		:<math>u = Ri+L\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}\int{i\, dt}</math>

Anders: /* En växelströmsbrygga */

2013-02-21T06:40:30Z

En växelströmsbrygga

@@ Rad 108: / Rad 108: @@
 och
 :<math>\alpha=\arg\overline{I} = \beta+\arctan\frac{\omega(L_1+L_2)}{R_1+R_2}-\arctan{\frac{\omega L_1}{R_1}}-\arctan{\frac{\omega L_2}{R_2}}</math>
 [[category:Formelsamling]]
 [[category:Ellära]]

Anders: /* Två parallellkopplade spolar */

2013-02-21T06:40:15Z

Två parallellkopplade spolar

← Äldre version		Versionen från 21 februari 2013 kl. 06.40
Rad 93:		Rad 93:

	===Två parallellkopplade spolar===		===Två parallellkopplade spolar===
	~~[[File:2-spolar.svg\|right\|160px]]{{clear\|left}}~~
	Två parallellkopplade spolar är anslutna till spänningen		Två parallellkopplade spolar är anslutna till spänningen
	:<math>u=A\sqrt 2\sin(\omega t+\beta)</math>		:<math>u=A\sqrt 2\sin(\omega t+\beta)</math>

Anders: /* Effekten i komplex framställning */

2013-02-21T06:40:00Z

Effekten i komplex framställning

← Äldre version		Versionen från 21 februari 2013 kl. 06.40
Rad 80:		Rad 80:
	är spänningens och strömmens [[komplexkonjugat\|komplexkonjugerade]] värden.		är spänningens och strömmens [[komplexkonjugat\|komplexkonjugerade]] värden.

			=== Seriekoppling ===
			[[Image:J-Omega-visardiagram.svg\|thumb\|right\|260 px\|Visardiagram för tre seriekopplade impedanser med resistans, induktans och kapacitans. Visaren för R används som [[fas (matematik)\|riktfas]] vilket betyder att fasen för den växelspänning/växelström som ligger över/genomlöper R är [[fas (matematik)\|fasreferens]]/riktfas]]

			För ögonblicksvärdena av en seriekoppling av tre komponenter med resistans, induktans respektive kapacitans gäller
			:<math>u = Ri+L\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}\int{i\, dt}</math>
			Motsvarande ekvation i komplex form:
			:<math>\overline U = \left(R + j\omega L + {1 \over j\omega C}\right)\overline I=</math>
			::<math>=\left(R + j(\omega L - {1 \over \omega C})\right)\overline I</math>
			Av visardiagrammet till höger framgår att den resulterande fasvridningen för de seriekopplade impedanserna är
			:<math>\theta = \arctan{\omega L - {1 \over \omega C}\over R}</math>
			vilket är samma värde som argumentet för den komplexa impedansen.

			===Två parallellkopplade spolar===
			[[File:2-spolar.svg\|right\|160px]]{{clear\|left}}
			Två parallellkopplade spolar är anslutna till spänningen
			:<math>u=A\sqrt 2\sin(\omega t+\beta)</math>
			Bestäm den totala tillförda strömmen
			:<math>i=I\sqrt 2\sin(\omega t+\alpha)</math>

			Inför den komplexa spänningen och strömmen
			:<math>\overline U = U\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t +\beta)} = U\underline{/\beta}\,</math>
			:<math>\overline I = I\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t +\alpha)} = I\underline{/\alpha}</math>

			Tillämpning av de vanliga likströmslagarna på kretsen till höger ger
			:<math>\overline I=\frac{\overline U}{R_1+j\omega L_1}+\frac{\overline U}{R_2+j\omega L_2}=\overline U\cdot\frac{R_1+R_2+j\omega(L_1+L_2)}{(R_1+j\omega L_1)(R_2+j\omega L_2)}</math>
			vilket ger
			:<math>I=\|\overline I\|=U\cdot\frac{\sqrt{(R_1+R_2)^2+\omega ^2(L_1+L_2)^2}}{\sqrt{R_1^2+(\omega L_1)^2}\sqrt{R_2^2+(\omega L_2)^2}}</math>
			och
			:<math>\alpha=\arg\overline{I} = \beta+\arctan\frac{\omega(L_1+L_2)}{R_1+R_2}-\arctan{\frac{\omega L_1}{R_1}}-\arctan{\frac{\omega L_2}{R_2}}</math>

			===En växelströmsbrygga===
			[[File:Växelströmsbrygga.svg\|right\|200px]]{{clear\|left}}
			Högtalaren är tyst om
			:<math>\frac{Z_1}{Z_2}=\frac{Z_3}{Z_4};\quad Z_1, Z_2, Z_3, Z_4\quad \text{komplexa impedanser}</math>
			Denna komplexa likhet motsvaras av två reella balansvillkor som båda måste vara uppfyllda
			:<math>\frac{\|Z_1\|}{\|Z_2\|}=\frac{\|Z_3\|}{\|Z_4\|};\quad \arg Z_1-\arg Z_2 = \arg Z_3-\arg Z_4\,</math>
			eller
			:<math>\operatorname{Re}\left (\frac{Z_1}{Z_2}\right)=\operatorname{Re}\left (\frac{Z_3}{Z_4}\right);\quad \operatorname{Im}\left (\frac{Z_1}{Z_2}\right)= \operatorname{Im}\left (\frac{Z_3}{Z_4}\right)</math>

Anders: /* Metod */

2013-02-21T06:39:03Z

Metod

← Äldre version		Versionen från 21 februari 2013 kl. 06.39
Rad 60:		Rad 60:
	<math>R, j\omega L, \frac{1}{j\omega C}</math>		<math>R, j\omega L, \frac{1}{j\omega C}</math>

	=== Metod ===		== Metod ==

	Formellt räknar man sedan med växelstorheterna och med de komplexa impedanserna som om man hade ett likströmsproblem. En sökt växelstorhet erhålls som ett komplext tal vars absolutbelopp är storhetens [[effektivvärde]] och vars argument är storhetens fasvinkel.		Formellt räknar man sedan med växelstorheterna och med de komplexa impedanserna som om man hade ett likströmsproblem. En sökt växelstorhet erhålls som ett komplext tal vars absolutbelopp är storhetens [[effektivvärde]] och vars argument är storhetens fasvinkel.

	==== Effekten i komplex framställning ====		=== Effekten i komplex framställning ===

	Givet att		Givet att

Anders: /* Strömmen */

2013-02-21T06:38:45Z

Strömmen

@@ Rad 43: / Rad 43: @@
 <math>\overline I=\mathrm{e}^{j \alpha }=I\underline{/\alpha}</math>
 [[category:Formelsamling]]
 [[category:Ellära]]

Anders: /* Komplexa storheter */

2013-02-21T06:32:49Z

Komplexa storheter

← Äldre version		Versionen från 21 februari 2013 kl. 06.32
Rad 34:		Rad 34:
	Vi ersätter därför tidigare impedans, ström och spänning med dess respektive storhete i komplex form enligt:		Vi ersätter därför tidigare impedans, ström och spänning med dess respektive storhete i komplex form enligt:

			=== Strömmen ===

			I stället för strömmen

			<math>i=I\sqrt{2}\sin{(\omega t + \alpha)}</math>

			Inför vi den komplexa strömmen

			<math>\overline I=\mathrm{e}^{j \alpha }=I\underline{/\alpha}</math>


	[[category:Formelsamling]]		[[category:Formelsamling]]
	[[category:Ellära]]		[[category:Ellära]]

Anders: /* Definitioner */

2013-02-21T06:28:25Z

Definitioner

← Äldre version		Versionen från 21 februari 2013 kl. 06.28
Rad 11:		Rad 11:
	==Definitioner==		==Definitioner==

			* Växelförloppen antas sinusformiga
	* En resistans representeras av dess resistiva värde direkt som den reella delen i det komplexa talet.		* En resistans representeras av dess resistiva värde direkt som den reella delen i det komplexa talet.
	* En reaktans kan vara kapacitiv eller induktiv		* En reaktans kan vara kapacitiv eller induktiv