Skillnad mellan versioner av "Shannon"

Från Täpp-Anders
Hoppa till: navigering, sök
(→‎Shannon på modemkanal)
(→‎Shannon på modemkanal)
 
(8 mellanliggande versioner av 2 användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
[[category:radio]]
 +
[[category:Formelsamling]]
 +
[[category:Informationsteori]]
 
Shannons lag ger den maximala överförbara datatakten hos en given överföringskanal vid en viss effekt och ett givet signalbrusförhållande.
 
Shannons lag ger den maximala överförbara datatakten hos en given överföringskanal vid en viss effekt och ett givet signalbrusförhållande.
  
Rad 14: Rad 17:
  
 
== Shannon om GSM ==
 
== Shannon om GSM ==
−
Ett exempel på detta är en vanlig GSM-kanal som kräver 9 dB C/I vilket kan översättas till S/N i detta fall, har en bandbredd på 200 kHz och därmed får vi:
+
Ett exempel på detta är en vanlig GSM-kanal med en mottagen signalstyrka på -90 dBm. Bruseffekten i en standard GSM-kanal kan räknas ut till -121 dBm så vi har ett S/N som är 31 dB. Detta ger oss då följande:
  
−
<math>2\cdot 10^5 \cdot log_2\left(1+10^{9/10}\right)</math>
+
<math>2\cdot 10^5 \cdot log_2\left(1+10^{31/10}\right)</math>
−
<math>\approx 2\cdot 10^5 \log_2(8,943)</math>
+
<math>\approx 2\cdot 10^5 \log_2(1258)</math>
−
<math>\approx 632\ 160\ \mathrm{bit/s}</math>
+
<math>\approx 2\cdot 10^5 10,3</math>
 +
<math>\approx 2,060\cdot 10^{6}</math>
  
−
Detta gäller nu för minsa möjliga och den totala bitraten för hela kanalen. Givet en tidlucka dvs 1/8 får vi i stället ca 78 kbit/s.
+
Så vi ser att normal GSM är ganska långt från shannons gräns. Vid -90 dBm räknar man med 270 kbit/s normalt och det innebär alltså 7,6 ggr från shannongränsen.
−
 
 
−
Den egentliga bitraten i en GSM-kanals enskilda tidlucka är 22,8 kbit/s och modulationen i GSM ger oss alltså 29% av maximalt möjlig överföring vid lägsta S/N.
 
  
 
== Shannon på modemkanal ==
 
== Shannon på modemkanal ==
Rad 28: Rad 30:
 
Antag en bandbredd om 3600-300 Hz, dvs 3 500 Hz. Antag S/N 48 dB S/N så får vi följande:
 
Antag en bandbredd om 3600-300 Hz, dvs 3 500 Hz. Antag S/N 48 dB S/N så får vi följande:
  
−
<math>3\ 500 \cdot log_2(1+10^{48/10})</math>
+
<math>3\ 500 \cdot \log_2(1+10^{48/10})</math>
−
<math>\approx 3\ 500 \cdot log_2(1+63\ 095)</math>
+
<math>\approx 3\ 500 \cdot \log_2(1+63\ 095)</math>
 
<math>\approx 3\ 500 \cdot 15,94</math>
 
<math>\approx 3\ 500 \cdot 15,94</math>
 
<math>\approx 55\ 808</math>
 
<math>\approx 55\ 808</math>
  
 
Man ser alltså att det krävs bra S/N för att klara 56 kbit/s modem...
 
Man ser alltså att det krävs bra S/N för att klara 56 kbit/s modem...
 +
 +
== Omvandling till 2-logaritmen ==
 +
 +
Om din räknare inte kan hantera 2-logaritmen direkt så kan du omvandla från naturliga logaritmen <math>ln</math> eller tiotalslogaritmen <math>log_{10}</math> genom att använda följande omvanling:
 +
 +
Naturliga logaritmen
 +
 +
<math>\log_2(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(2)}</math>
 +
 +
Tiotalslogaritmen
 +
 +
<math>\log_2(x) = \frac{\log_{10}(x)}{\log_{10}(2)}</math>

Nuvarande version från 9 augusti 2013 kl. 13.48

Shannons lag ger den maximala överförbara datatakten hos en given överföringskanal vid en viss effekt och ett givet signalbrusförhållande.

Grundformen

I<B\ log_2\left(1+\frac{S}{N}\right)

Där

I är den informationshastighet i bitar per sekund
B är den bandbredd överföringskanalen har i Hz
S är den totala signalens effekt
N är den totala bruseffekten i mottagaren

Vad lagen säger är alltså att den överförda mängden information i bit/s alltid måste vara mindre än bandbredden multiplicerad med den binära logaritmen av signalbrusförhållandet för överföringskanalen.

Shannon om GSM

Ett exempel på detta är en vanlig GSM-kanal med en mottagen signalstyrka på -90 dBm. Bruseffekten i en standard GSM-kanal kan räknas ut till -121 dBm så vi har ett S/N som är 31 dB. Detta ger oss då följande:

2\cdot 10^5 \cdot log_2\left(1+10^{31/10}\right) \approx 2\cdot 10^5 \log_2(1258) \approx 2\cdot 10^5 10,3 \approx 2,060\cdot 10^{6}

Så vi ser att normal GSM är ganska långt från shannons gräns. Vid -90 dBm räknar man med 270 kbit/s normalt och det innebär alltså 7,6 ggr från shannongränsen.

Shannon på modemkanal

Antag en bandbredd om 3600-300 Hz, dvs 3 500 Hz. Antag S/N 48 dB S/N så får vi följande:

3\ 500 \cdot \log_2(1+10^{48/10}) \approx 3\ 500 \cdot \log_2(1+63\ 095) \approx 3\ 500 \cdot 15,94 \approx 55\ 808

Man ser alltså att det krävs bra S/N för att klara 56 kbit/s modem...

Omvandling till 2-logaritmen

Om din räknare inte kan hantera 2-logaritmen direkt så kan du omvandla från naturliga logaritmen ln eller tiotalslogaritmen log_{10} genom att använda följande omvanling:

Naturliga logaritmen

\log_2(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(2)}

Tiotalslogaritmen

\log_2(x) = \frac{\log_{10}(x)}{\log_{10}(2)}

Hämtad från "http://wiki.sikvall.se/index.php?title=Shannon&oldid=988"