Skillnad mellan versioner av "Shannon"

Från Täpp-Anders
Hoppa till: navigering, sök
(Created page with "Shannons lag ger den maximala överförbara datatakten hos en given överföringskanal vid en viss effekt och ett givet signalbrusförhållande. == Grundformen == <math>I < ...")
 
(→‎Shannon på modemkanal)
 
(14 mellanliggande versioner av 2 användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
[[category:radio]]
 +
[[category:Formelsamling]]
 +
[[category:Informationsteori]]
 
Shannons lag ger den maximala överförbara datatakten hos en given överföringskanal vid en viss effekt och ett givet signalbrusförhållande.
 
Shannons lag ger den maximala överförbara datatakten hos en given överföringskanal vid en viss effekt och ett givet signalbrusförhållande.
  
 
== Grundformen ==
 
== Grundformen ==
  
−
<math>I < B\ log_2\left(1+\frac{S}{N}\right)</math>
+
<math>I<B\ log_2\left(1+\frac{S}{N}\right)</math>
  
 
Där
 
Där
Rad 10: Rad 13:
 
:''S'' är den totala signalens effekt
 
:''S'' är den totala signalens effekt
 
:''N'' är den totala bruseffekten i mottagaren
 
:''N'' är den totala bruseffekten i mottagaren
 +
 +
Vad lagen säger är alltså att den överförda mängden information i bit/s alltid måste vara mindre än bandbredden multiplicerad med den binära logaritmen av signalbrusförhållandet för överföringskanalen.
 +
 +
== Shannon om GSM ==
 +
Ett exempel på detta är en vanlig GSM-kanal med en mottagen signalstyrka på -90 dBm. Bruseffekten i en standard GSM-kanal kan räknas ut till -121 dBm så vi har ett S/N som är 31 dB. Detta ger oss då följande:
 +
 +
<math>2\cdot 10^5 \cdot log_2\left(1+10^{31/10}\right)</math>
 +
<math>\approx 2\cdot 10^5 \log_2(1258)</math>
 +
<math>\approx 2\cdot 10^5 10,3</math>
 +
<math>\approx 2,060\cdot 10^{6}</math>
 +
 +
Så vi ser att normal GSM är ganska långt från shannons gräns. Vid -90 dBm räknar man med 270 kbit/s normalt och det innebär alltså 7,6 ggr från shannongränsen.
 +
 +
== Shannon på modemkanal ==
 +
 +
Antag en bandbredd om 3600-300 Hz, dvs 3 500 Hz. Antag S/N 48 dB S/N så får vi följande:
 +
 +
<math>3\ 500 \cdot \log_2(1+10^{48/10})</math>
 +
<math>\approx 3\ 500 \cdot \log_2(1+63\ 095)</math>
 +
<math>\approx 3\ 500 \cdot 15,94</math>
 +
<math>\approx 55\ 808</math>
 +
 +
Man ser alltså att det krävs bra S/N för att klara 56 kbit/s modem...
 +
 +
== Omvandling till 2-logaritmen ==
 +
 +
Om din räknare inte kan hantera 2-logaritmen direkt så kan du omvandla från naturliga logaritmen <math>ln</math> eller tiotalslogaritmen <math>log_{10}</math> genom att använda följande omvanling:
 +
 +
Naturliga logaritmen
 +
 +
<math>\log_2(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(2)}</math>
 +
 +
Tiotalslogaritmen
 +
 +
<math>\log_2(x) = \frac{\log_{10}(x)}{\log_{10}(2)}</math>

Nuvarande version från 9 augusti 2013 kl. 13.48

Shannons lag ger den maximala överförbara datatakten hos en given överföringskanal vid en viss effekt och ett givet signalbrusförhållande.

Grundformen

I<B\ log_2\left(1+\frac{S}{N}\right)

Där

I är den informationshastighet i bitar per sekund
B är den bandbredd överföringskanalen har i Hz
S är den totala signalens effekt
N är den totala bruseffekten i mottagaren

Vad lagen säger är alltså att den överförda mängden information i bit/s alltid måste vara mindre än bandbredden multiplicerad med den binära logaritmen av signalbrusförhållandet för överföringskanalen.

Shannon om GSM

Ett exempel på detta är en vanlig GSM-kanal med en mottagen signalstyrka på -90 dBm. Bruseffekten i en standard GSM-kanal kan räknas ut till -121 dBm så vi har ett S/N som är 31 dB. Detta ger oss då följande:

2\cdot 10^5 \cdot log_2\left(1+10^{31/10}\right) \approx 2\cdot 10^5 \log_2(1258) \approx 2\cdot 10^5 10,3 \approx 2,060\cdot 10^{6}

Så vi ser att normal GSM är ganska långt från shannons gräns. Vid -90 dBm räknar man med 270 kbit/s normalt och det innebär alltså 7,6 ggr från shannongränsen.

Shannon på modemkanal

Antag en bandbredd om 3600-300 Hz, dvs 3 500 Hz. Antag S/N 48 dB S/N så får vi följande:

3\ 500 \cdot \log_2(1+10^{48/10}) \approx 3\ 500 \cdot \log_2(1+63\ 095) \approx 3\ 500 \cdot 15,94 \approx 55\ 808

Man ser alltså att det krävs bra S/N för att klara 56 kbit/s modem...

Omvandling till 2-logaritmen

Om din räknare inte kan hantera 2-logaritmen direkt så kan du omvandla från naturliga logaritmen ln eller tiotalslogaritmen log_{10} genom att använda följande omvanling:

Naturliga logaritmen

\log_2(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(2)}

Tiotalslogaritmen

\log_2(x) = \frac{\log_{10}(x)}{\log_{10}(2)}

Hämtad från "http://wiki.sikvall.se/index.php?title=Shannon&oldid=988"